Scrivo questo post perchè cercando un po’ in rete mi sono accorto che la trattazione di questo argomento non è ben documentata e spesso si è alle prese con una ricerca difficoltosa delle informazioni che occorrono per dimensionare correttamente - o quasi - i motori per la trazione di un robot.
Questo è un metodo piuttosto pratico, che attinge però a conoscenze di fisica classica per giunta neanche complicate. Il metodo si basa su alcune approssimazioni ma potete considerarlo valido per i nostri scopi hobbistici.
Sui datasheet dei motori è sicuramente presente il valore di coppia di stallo. La caratteristica del motore DC è una retta. Nel punto in cui la velocità è massima la coppia è zero, mentre nel punto in cui la coppia è massima, la velocità è zero (cioè a motore fermo, in “stallo”). Questa dicitura potrebbe generare confusione, perchè spesso sul datasheet viene anche indicata la coppia nominale. In inglese è più chiaro il concetto di start-up torque come coppia di stallo e rated torque come coppia nominale. La coppia di stallo infatti è la massima coppia che può fornire il motore, ma in caso di stallo, in cui il motore è bloccato. Ma dal punto di vista pratico è un dato di cui ce ne facciamo ben poco. E’ più corretto considerare invece il valore di coppia nominale, ovvero: la coppia che si ottiene nel funzionamento alla tensione nominale e corrente nominale ad una temperatura del motore di 25°C. È al limite del campo di funzionamento continuo del motore. Coppie più alte possono portare ad un’inammissibile riscaldamento dell’avvolgimento. Detto questo, per la scelta del nostro motore dovremo fare affidamento solo ed esclusivamente al valore di coppia nominale. In caso di assenza di questo dato, considereremo valido come valore la metà della coppia di stallo, posizionandoci quindi a metà della curva caratteristica del motore (vedi immagine qui sotto).
Curva caratteristica Velocità /Coppia di un motore DC
Torniamo perciò ai nostri calcoli. Prima di effettuarli dobbiamo per prima cosa sapere:
1) il peso totale del nostro robot;
2) che valore di accelerazione vogliamo imprimere al nostro robot (queste due informazioni saranno necessarie per trovare il valore di coppia con cui sceglieremo il motore);
3) la massima velocità a regime che vogliamo far raggiungere al nostro robot (con questo valore riusciremo a sapere quanti giri deve effettuare al minuto il nostro motore).
La relazione alla base del ragionamento a cui andremo a ricavare la coppia che dovrà fornire il nostro motore è la seguente:
M/r = m*a + Fr [1]
dove M è la coppia del motore, r è il raggio della ruota, m è la massa del robot, a è l’accelerazione che vogliamo imprimere, e Fr sono le forze resistenti da vincere (dovute a diversi fattori ma nel nostro caso dipendenti fortemente dal coefficiente di attrito volvente). Queste ultime le andremo a considerare nel calcolo finale.
Dal punto di vista concettuale la relazione [1] è molto semplice: in pratica i nostri motori devono fornire una forza maggiore del prodotto massa per accelerazione del nostro robot, più le forze che si oppongono al moto, in questo caso quelle di attrito al rotolamento delle ruote (attrito volvente). In realtà ci sono altre forze resistenti dovute ad altri fattori (l’attrito con l’aria è un esempio, anche se alle nostre velocità è ininfluente, ma ci sono altri fattori) che andremo poi a considerare applicando un fattore di sicurezza al nostro calcolo.
Prendiamo quindi ad esempio un classico robottino a telaio piano, con due ruote e i rispettivi due motori, che si muova su una superficie piana (non ci devono essere salite, altrimenti il calcolo si complica leggermente, e andrebbe considerato il coseno dell’angolo: per fortuna nella stragrande maggioranza delle nostre applicazioni questo non avviene).
Mettiamo quindi che vogliamo imprimere al nostro robot un’accelerazione di 0.5 m/s^2 (metri al secondo quadro) e che il nostro robot pesi 1 Kg (inclusi i motori, ovviamente !). Il prodotto m*a (massa per accelerazione) sarà quindi pari a: 1 Kg * 0.5 m = 0.5 Kg*m/s^2, ovvero 0.5 N (newton). In alcuni datasheet la coppia del motore è espressa in Kgm, per convertirli in N ricordate che 1 Kgf (chilogrammoforza) corrisponde a 9.81 N (in pratica è la massa unitaria di 1 Kg sottoposta all’accelerazione gravitazionale di 9.81 m/s^2).
Questo è il valore di forza che dobbiamo applicare al nostro robot per ottenere quel valore di accelerazione. Ricordiamoci che a questo prodotto massa per accelerazione [1] vanno aggiunte le forze resistenti (in particolar modo il coefficiente di attrito volvente). Esistono tabelle con valori del coefficiente di attrito volvente tra due superfici, gomma-cemento, gomma-asfalto, e così via), ottenuto per via empirica con delle prove pratiche. Ecco qualche esempio:
- Steel on Steel f = 0,0005m
- Wood on Steel f = 0,0012m
- Wood on Wood f = 0,0015m
- Iron on iron f = 0,00051m
- Iron on granite f = 0,0021m
- Iron on Wood f = 0,0056m
- Polymer of steel f = 0,002m
- Hardrubber on Steel f = 0,0077m
- Hardrubber on Concrete f = 0,01 -0,02m
- Rubber on Concrete f = 0,015 -0,035m
Come già detto prima però, di questo ne terremo conto alla fine.
Adesso possiamo quindi ricavare il valore di coppia di minima che deve fornire il motore per far muovere il nostro robot e questo è piuttosto semplice. La coppia è nient’altro che una coppia di forze che hanno stessa direzione e verso contrario applicate ad un braccio (il braccio nella pratica è il raggio della ruota del nostro robot). Quindi moltiplicando il valore della forza da noi trovato (0.5 N) per il raggio della ruota del nostro robot (5 cm) ottengo il valore di coppia minimo che deve avere il mio motore per far muovere il nostro robot: 0.5 N * 5 cm = 2.5 Ncm.
Adesso divido questo valore di coppia per due: perchè ? perchè è vero che il mio robot pesa 1 Kg, ma è anche vero che questo peso verrà spostato da 2 motori (in teoria se perfettamente bilanciato) quindi il valore di coppia che ottengo sarà pari a: 2.5 Ncm / 2 = 1.25 Ncm.
Benissimo, ce l’abbiamo fatta ! abbiamo quindi ottenuto il valore di coppia minimo che dovrà avere il nostro motore, ma non dimentichiamo a questo punto di applicare un fattore di sicurezza che ci permetta di non sottovalutare le forze resistenti dovute all’attrito volvente (e non solo) e soprattutto di dare un margine di sicurezza al nostro conto. Non c’è niente di esatto in questo valore, ma è prevalentemente a sensibilità del progettista: il mio consiglio è di raddoppiare il valore ottenuto. Quindi se dal calcolo ottengo che il valore minimo di coppia che mi occorre è di 1.25 Ncm, sceglierò un motore con valore di coppia nominale doppio, 2.5 Ncm, per stare tranquillo e per non sovraccaricare troppo il motore. In applicazioni industriali questo coefficiente è più grande, ma per il nostro robottino va più che bene. Potrebbero andar bene di sicuro anche valori minori di questo coefficiente (0.3-0.5): sarà l’esperienza poi a suggerirvi quello più adatto.
A questo punto ci rimane solo da calcolare il valore dei giri per minuto minimi che deve avere il mio motore per ottenere la velocità desiderata (rpm). Il calcolo è molto semplice. Mettiamo che io voglia far viaggiare il mio robot ad una velocità di 1 m/s. Calcolo per prima cosa la circonferenza della ruota: 6.28*r = 31.4 cm. Se voglio ottenere una velocità di 1 m/s il mio motore (e quindi la ruota) dovranno effettuare : 1 / 0.314 = 3.18 giri al secondo. Sui datasheet dei motori il valore dei giri è espresso in giro al minuto (rpm = revolution per minute), quindi basta moltiplicare per 60 secondi il dato precedente: 3.18*60 = 191 rpm. Andiamo quindi sul nostro datasheet e cerchiamo il valore di giri nominali (o velocità massima e dividiamo per due, come fatto con la coppia).
Con due semplici calcoli ci siamo assicurati un dimensionamento abbastanza corretto dei motori destinati a muovere il nostro robot di peso noto, imprimendo un’accelerazione da noi voluta, e consentendogli di raggiungere senza problemi la velocità da noi desiderata. Con i valori calcolati di coppia e di giri al minuto possiamo quindi andare sul catalogo del produttore dei motori e scegliere quello che ci sembra più appropriato. Il calcolo non è precisissimo perchè frutto di alcune semplificazioni, ma può essere ritenuto valido con una buona approssimazione.
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